 | f(x) = 1/sin(x)-1/x とおきます。
f'(x) = -cos(x)/(sin(x)^2)+1/(x^2) = {(sin(x)^2)-(x^2)cos(x)}/{(x^2)(sin(x)^2)}
0 < x < π/2の範囲で、f'(x)の分母は正ですから、分子の符号の変化を調べます。
g(x) = sin(x)^2-(x^2)cos(x)とおきます。
g'(x) = 2sin(x)cos(x)-2x*cos(x)+(x^2)sin(x) = 2cos(x)(sin(x)-x)+(x^2)sin(x)
g''(x) = 2(cos(x)^2)-2(sin(x)^2)-2cos(x)+2x*sin(x)+2x*cos(x)+(x^2)cos(x)
= 2(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x)+x)+(x^2)cos(x)
0 < x < π/2で、0 < cos(x) かつ 0 < sin(x) < x なので、g''(x) > 0 です。
よって、g'(x)は増加で、g'(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g'(x) > 0 といえます。
よって、g(x)も増加で、g(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g(x) > 0 といえます。
以上から、f'(x) > 0 であり、f(x)は増加で、
0 < x < π/2の範囲のf(x)の値はf(π/2) = 1-2/π未満であるので、
題意の不等式が成立するといえます。
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