 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
(x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。
(x-a)^2+y^2 ≦ a^2
⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)
もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
題意の領域は放物線 y = x^2 と 円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。
y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
t は x^3+x-2a = 0 の根です。
カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。
S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
= ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
= ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
= ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3
x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。
∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
= (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
= (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
= (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
= (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
= (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
= (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
= (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
= (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}
ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))
以上から、私が計算間違いしていなければ、
S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
= (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
となり、
これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。
# もっと簡単な方法があるに違いない!
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