 | なるほど。分かりました。
z=x+yi(x,yは実数)とおきます。
場合1:aが実数のとき
f(a,z)=|ax+ayi-1/(ax+ayi)+2i|-|ax+ayi-1/(ax+ayi)-2i|
=|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))+2i|-|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))-2i|
=√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
-√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
=√(((a^2(x^2+y^2)+2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
-√(((a^2(x^2+y^2)-2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
=|a|z|+1/(a|z|)+2y/|z||-|a|z|+1/(a|z|)-2y/|z||
ここで
|a|z|+1/(a|z|)|≧2かつ|2y/|z||≦2に注意して
a＞0のとき
f(a,z)=(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)-(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=4y/|z|=4Im(z)/|z|
a＜0のとき
f(a,z)=-(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)+(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=-4y/|z|=-4Im(z)/|z|
場合2:aが純虚数のとき、a=bi(bは0でない実数)とおいて
f(a,z)=|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))+2i|-|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))-2i|
=|bxi-by+(y+xi)/(b(x^2+y^2))+2i|-|bxi-by-(y+xi)/(b(x^2+y^2))-2i|
=√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))+2)^2)
-√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))-2)^2)
=√(((b^2(x^2+y^2)+2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
-√(((b^2(x^2+y^2)-2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
=|b|z|+1/(b|z|)+2x/|z||-|b|z|+1/(b|z|)-2x/|z||
ここで
|b|z|+1/(b|z|)|≧2かつ|2x/|z||≦2に注意して
b＞0のとき
f(a,z)=(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)-(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=4x/|z|=4Re(z)/|z|
b＜0のとき
f(a,z)=-(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)+(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=-4x/|z|=-4Re(z)/|z|
|