 | 長文ですが、一定の結果が出せたので書き込ませて頂きます。
f(x) = Ax^2+Bx+C, a[n+2] = f(a[n+1])/a[n]とし、
a[n+2] = p*a[n+1]+q*a[n]+rとなるp, q, rがA, B, Cだけで決定できるか考えてみます。
n = 1とn = 2で変形できる、つまり、
a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r
a[4] = p*a[3]+q*a[2]+r
は成立するもとします。
後は、kを自然数としてn = kとn = k+1で成立する、つまり、
a[k+2] = p*a[k+1]+q*a[k]+r
a[k+3] = p*a[k+2]+q*a[k+1]+r
と仮定して、n = k+2でも成立することが示せれば良い訳です。
a[k+4] = (A*a[k+3]^2+B*a[k+3]+C)/a[k+2]
= {A*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)^2+B*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+C}/a[k+2]
= {A*(p^2)*a[k+2]^2+2Apq*a[k+2]a[k+1]+2Apr*a[k+2]+A*(q^2)*a[k+1]^2+2Aqr*a[k+1]+A*r^2+Bp*a[k+2]+Bq*a[k+1]+Br+C}/a[k+2]
= A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+{A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C)}/a[k+2]
上記の最後の式で、ある定数sが存在して、
A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*f(a[k+1])・・・・・(1)
と表せれば、
a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k+2]
= A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k]*a[k]/a[k+2]
= A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k+2]*a[k]/a[k+2]
= A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]・・・・・(2)
と、とりあえず分数式は解消されて整式になります。
先ず、(1)の様に表せる為には
A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*(A*a[k+1]^2+B*a[k+1]+C)
より、
A*(q^2) = sA・・・・・(3)
2Aqr+Bq = sB・・・・・(4)
A*r^2+Br+C = sC・・・・・(5)
であることが必要です。
A ≠ 0とすれば、(3)より、
s = q^2・・・・・(6)
です。
(6)を(4)に代入すると、
2Aqr+Bq-(q^2)B = q*{2Ar+(1-q)B} = 0
よって、q = 0ならrは任意の値、q ≠ 0なら
r = (q-1)B/(2A)・・・・・(7)
であれば良いです。
(6)(7)を(5)に代入して見ると、
A*{(q-1)B/(2A)}^2+B*(q-1)B/(2A)+C = (q^2)C
⇒ {(q-1)^2}(B^2)/(4A)+(q-1)(B^2)/(2A)+(1-q^2)C = 0
⇒ (q-1){(q-1)(B^2)+2(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
⇒ (q-1){(q+1)(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
⇒ (q-1)(q+1)(B^2-4AC) = 0
4AC-B^2 = 0ならばqは任意の値となりますが、
4AC-B^2 = 0となるのは、f(x)がxの1次式の平方となる場合です。
この場合は別途考えることとして(!)、以降4AC-B^2 ≠ 0の場合のみ考えます。
4AC-B^2 ≠ 0ならばq = ±1であれば良いです。
q = 1ならば(7)よりr = 0です。
q = -1ならば(7)よりr = -B/Aです。
(2)より、
a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]
= Ap*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+Aq*(p*a[k+1]+q*a[k]+r)+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
= Ap*a[k+3]+Aq*a[k+2]+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
となりますが、上記が
a[k+4] = p*a[k+3]+q*a[k+2]+r
と等価になる為には、
Ap = p・・・・・(8)
Aq = q・・・・・(9)
(1-A)(q^2) = 0・・・・・(10)
Apr+Bp-Aqr = r・・・・・(11)
となることが必要です。
(8)(9)(10)より、A = 1が必要です。
よって、「q = 1, r = 0」または「q = -1, r = -B」となります。
A = 1, q = 1, r = 0の場合、(11)は
1*p*0+Bp-1*1*0 = 0
⇒Bp = 0
となり、B = 0ならばpは任意の値、B ≠ 0ならばp = 0が必要です。
A = 1, q = -1, r = -Bの場合、(11)は
1*p*(-B)+Bp-1*(-1)*(-B) = -B
⇒ 0 = 0
となり、pは任意の値となります。
・・・と、ここまでのかなり荒削りな結果から、ハイポネックスさんが質問された2問を解いてみます。
【1問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
A = 1, B = 1, C = 0なので、q = -1, r = -B = -1と取ります。
a[3] = a[2](a[2]+1)/a[1] = 1*(1+1)/1 = 2
a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+(-1) = p-2
⇒ 2 = p-2
⇒ p = 4
となって、既にみずきさんによる解答の通り、a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1が得られます。
【2問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = (a[n+1]^2+1)/a[n] (n≧1)
A = 1, B = 0, C = 1なので、q = -1, r = -B = 0と取ります。
a[3] = (a[2]^2+1)/a[1] = (1^2+1)/1 = 2
a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+0 = p-1
⇒ 2 = p-1
⇒ p = 3
となって、既に私がよる解答の通り、a[n+2] = 3a[n+1]-a[n]が得られます。
ITさんの指摘も含む、A ≠ 1の場合はこの方法では漸化式の整式化はできないのかもしれません。
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