 | OB[n]cosθ=OA[n+1] なので OB[n]：OA[n+1]=1：cosθ
△OA[n]B[n]∽△OA[n+1]B[n+1] なので A[n]B[n]：A[n+1]B[n+1]=1：cosθ
A[n]B[n]とA[n+1]B[n+1]の間隔をH[n]とすると
△A[n]B[n]A[n+1]：△B[n]A[n+1]B[n+1]
=A[n]B[n]H[n]/2：A[n+1]B[n+1]H[n]/2
=A[n]B[n]：A[n+1]B[n+1]
=1：cosθ
これより
△A[n]B[n]A[n+1]={1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
なので
Σ[n=1〜∞]S[n]
=Σ[n=1〜∞]△A[n]B[n]A[n+1]
=Σ[n=1〜∞]{1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
={1/(1+cosθ)}Σ[n=1〜∞](台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
={1/(1+cosθ)}△OA[1]B[1]
Σ[n=1〜∞]S[n]=1/3, △OA[1]B[1]=OA[1]・OB[1]・sinθ/2=sinθ/2 なので
(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
sinθ/2=(1+cosθ)/3
3sinθ=2(1+cosθ)
(3sinθ)^2={2(1+cosθ)}^2
9(sinθ)^2=4(1+cosθ)^2
9{1-(cosθ)^2}=4{1+2cosθ+(cosθ)^2}
13(cosθ)^2+8cosθ-5=0
(13cosθ-5)(cosθ+1)=0
cosθ=5/13,-1
θは鋭角なので
cosθ=5/13
(tanθ)^2=1/(cosθ)^2-1=144/25=(12/5)^2
θは鋭角なので
tanθ=12/5
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