 | 2017/03/05(Sun) 20:33:46 編集(投稿者)
g(x)=x^2-2 とする。
g(x)=x を因数分解すると (x+1)(x-2)=0 で解は x=-1,2
g(g(x))=x を因数分解すると (x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0 で
解は x=-1,2,(-1±√5)/2
g(g(g(x)))=x を整理すると (x+1)(x-2)(x^6+x^5-5x^4-3x^3+7x^2+x-1) で
x^6+x^5-5x^4-3x^3+7x^2+x-1=0 は有理数解を持たない。
よって
g(x)=x となるxは -1,2
g(x)≠x かつ g(g(x))=x となるxは x=(-1±√5)/2
g(x)≠x かつ g(g(g(x)))=x となる有理数解は存在しない
また
g(x)=-1,2となる-1,2以外のxは1,-2で
g(x)=(-1±√5)/2となる有理数解は存在しないので
条件を満たすf(x)は
(x+1)^3
(x+1)^2(x-2)
(x+1)(x-2)^2
(x-2)^3
(x-1)(x+1)^2
(x-1)^2(x+1)
(x-1)(x+1)(x-2)
(x+2)(x-2)^2
(x+2)^2(x-2)
(x+2)(x+1)(x-2)
(x+1)(x^2+x-1)
(x-2)(x^2+x-1)
の12個。
# みずきさんからの御指摘により訂正しました。
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