数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■47891 / inTopicNo.1)  3次方程式
  
□投稿者/ ramuniku 一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 15:45:19)
    f(x)はxの実数係数3次多項式で、以下の条件を満たしている。
    ・αがf(x)=0の解ならば、f(α^2-2)=0である。
    ・ある有理数βが存在して、f(β)=0である。
    このときf(x)を求めたい。(x^3の係数は1としてよい)

    お願いします!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47893 / inTopicNo.2)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/03/05(Sun) 19:41:53)
    2017/03/05(Sun) 20:33:46 編集(投稿者)

    g(x)=x^2-2 とする。
    g(x)=x を因数分解すると (x+1)(x-2)=0 で解は x=-1,2
    g(g(x))=x を因数分解すると (x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0 で
    解は x=-1,2,(-1±√5)/2
    g(g(g(x)))=x を整理すると (x+1)(x-2)(x^6+x^5-5x^4-3x^3+7x^2+x-1) で
    x^6+x^5-5x^4-3x^3+7x^2+x-1=0 は有理数解を持たない。
    よって
    g(x)=x となるxは -1,2
    g(x)≠x かつ g(g(x))=x となるxは x=(-1±√5)/2
    g(x)≠x かつ g(g(g(x)))=x となる有理数解は存在しない
    また
    g(x)=-1,2となる-1,2以外のxは1,-2で
    g(x)=(-1±√5)/2となる有理数解は存在しないので
    条件を満たすf(x)は
    (x+1)^3
    (x+1)^2(x-2)
    (x+1)(x-2)^2
    (x-2)^3
    (x-1)(x+1)^2
    (x-1)^2(x+1)
    (x-1)(x+1)(x-2)
    (x+2)(x-2)^2
    (x+2)^2(x-2)
    (x+2)(x+1)(x-2)
    (x+1)(x^2+x-1)
    (x-2)(x^2+x-1)
    の12個。

    # みずきさんからの御指摘により訂正しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47895 / inTopicNo.3)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ みずき 一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 20:17:05)
    横から失礼します。

    >>らすかるさん

    例えば f(x)=(x+2)(x-2)^2 も条件を満たしませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47896 / inTopicNo.4)  Re[2]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/03/05(Sun) 20:28:22)
    2017/03/05(Sun) 20:34:37 編集(投稿者)

    あ、そうですね。気付きませんでした。御指摘ありがとうございます。
    上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47897 / inTopicNo.5)  Re[3]: 3次方程式
□投稿者/ ramuniku 一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 22:28:09)
    有難うございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47898 / inTopicNo.6)  Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ みずき 一般人(3回)-(2017/03/06(Mon) 00:09:19)
    >上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

    私の計算では、条件を満たすf(x)は15個となりました。
    らすかるさんが挙げられた12個の他に

    (x+1)(x-1)(x+√3)
    (x+1)(x-1)(x-√3)
    x(x-2)(x+2)

    も条件を満たすと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47899 / inTopicNo.7)  Re[2]: 3次方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2017/03/06(Mon) 00:27:48)
    確かにおっしゃる通りですね。
    考え落としが多すぎました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター