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■47888 / inTopicNo.1)  漸化式と極限
  
□投稿者/ 歯医者さんに褒められる歯 一般人(1回)-(2017/03/01(Wed) 21:32:09)
    0<a<1である実数aに対して、数列{a[n]}を
    a[1]=a, a[n+1]=4a[n](1-a[n]) (n≧1)
    で定義する。
    lim[n→∞]a[n]=0であるとき、a[N]=0となる自然数Nが存在することを証明せよ。

    教えて下さい。
    よろしくお願いします。
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■47889 / inTopicNo.2)  Re[1]: 漸化式と極限
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2017/03/02(Thu) 04:54:16)
    どういう状況での問題かによって答え方が結構変わると思いますが、簡単に言うと

    条件から任意のnに対して0≦a[n]≦1。
    0<a[n]<1/4のとき1-a[n]>3/4なのでa[n+1]=4a[n](1-a[n])>3a[n]となり、
    a[n]が正の小さい値の場合、a[n+1],a[n+2],…は1/4以上になるまで
    前項の3倍以上の値をとり単調増加する。
    よってa[n]が0にならずに0に近づくことは不可能なので
    lim[n→∞]a[n]=0ならばa[N]=0となる自然数Nが存在する。

    # 具体的には、ある自然数Nに対してa[N]=3/4のときlim[n→∞]a[n]=3/4、
    # ある自然数にNに対してa[N]=0のときlim[n→∞]a[n]=0、
    # それ以外のときa[n]は発散(振動)

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■47890 / inTopicNo.3)  Re[2]: 漸化式と極限
□投稿者/ 歯医者さんに褒められる歯 一般人(1回)-(2017/03/02(Thu) 14:38:22)
    状況がよく分かりました。
    有難うございます。
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