 | 以下、文字は整数とし、xとyの最大公約数を(x,y)と表すこととする。
互除法の原理
x,yに対して、y=xq＋ｒ（q,rは整数〜必ず存在する）であるとき、(x,y)=(x,r)。
(q,rの大きさは問わない)
を利用して、次の2つを証明したいのですが、
(1) (x,y)=1⇒(xy,x+y)=1
(証明) xy=(x+y)･1+(xy-x-y)
x+y=(xy-x-y)+xy
xy-x-y=xy･1-(x+y)
であるから、
(xy,x+y)=(x+y,xy-x-y)=(xy-x-y,xy)=(xy,-(x+y))=1 （証明終）
(2)(x,y)=1⇒(xy,x^2+y^2)=1
を上と同様に示したいのですが、うまくいきません。ご教授下さい。
|