 | 条件から
f(x)=b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a
なる実数b,c,d,f,g (b＞0,c＜d,f＜g)が存在します。
(b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a)'=5b(x-c)(x-d)(x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5)
x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5=0 の2解は c,d だから
f+g=-(-4a-3c-3d)/5
fg=(2a(c+d)+cd)/5
(b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a)'=5b(x-f)(x-g)(x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5)
x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5=0 の2解は c,d だから
c+d=-(4a-3f-3g)/5
cd=(-2a(f+g)+fg)/5
よって c+d=-a/2, cd=-a^2/4, f+g=a/2, fg=-a^2/4
∴ c=(-1-√5)a/4, d=(-1+√5)a/4, f=(1-√5)a/4, g=(1+√5)a/4
b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a の定数項を比較して
b(c^2d^2+f^2g^2)=2
∴ b=16/a^4
以上から
f(x)=(16/a^4)x^5+(-20/a^2)x^3+5x
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