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■47855 / inTopicNo.1)  多項式の決定
  
□投稿者/ からすがれい 一般人(1回)-(2017/02/05(Sun) 13:51:55)
    aを正の定数とするとき、次の(1),(2)の条件を同時に満たすような
    実数係数の5次関数y=f(x)をすべて求めよ。
    (1) f(a)=a, f(-a)=-a
    (2) -a<x<a の範囲で極大、極小となる点が2点ずつ存在し、 
       極大値はいずれもa、極小値はいずれも-aである。

    教えて下さい!
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■47856 / inTopicNo.2)  Re[1]: 多項式の決定
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/02/06(Mon) 17:07:44)
    条件から
    f(x)=b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a
    なる実数b,c,d,f,g (b>0,c<d,f<g)が存在します。

    (b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a)'=5b(x-c)(x-d)(x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5)
    x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5=0 の2解は c,d だから
    f+g=-(-4a-3c-3d)/5
    fg=(2a(c+d)+cd)/5

    (b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a)'=5b(x-f)(x-g)(x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5)
    x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5=0 の2解は c,d だから
    c+d=-(4a-3f-3g)/5
    cd=(-2a(f+g)+fg)/5

    よって c+d=-a/2, cd=-a^2/4, f+g=a/2, fg=-a^2/4
    ∴ c=(-1-√5)a/4, d=(-1+√5)a/4, f=(1-√5)a/4, g=(1+√5)a/4

    b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a の定数項を比較して
    b(c^2d^2+f^2g^2)=2
    ∴ b=16/a^4

    以上から
    f(x)=(16/a^4)x^5+(-20/a^2)x^3+5x
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