 | (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする
AはdのAへの制限により距離空間となる
N=(全自然数)
clA=(Aの閉包)とする
(1)→(2)の証
(A,d)は完備
b∈cl(A)とする
任意の自然数n∈Nに対して
a_n∈{x∈X|d(x,b)<1/n}∩A
となるa_nが存在する
任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
d(a_n,b)<1/n<1/n_0<ε
となるから
lim_{n→∞}a_n=b
{a_n}_{n∈N}はbに収束する
収束する数列はコーシー列だから
{a_n}_{n∈N}は完備Aのコーシー列となるから
Aの要素に収束するから
b∈A
だから
cl(A)=A
だから
∴Aは(X,d)の閉集合
(2)→(1)の証
Aは(X,d)の閉集合
A⊃{a_n}_{n∈N}はコーシー列
とする
(X,d)は完備だから
lim_{n→∞}a_n=b∈X
となるbがある
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
d(a_n,b)<ε
だから
a_{n_0+1}
∈{x∈X|d(x,b)<ε}∩{a_n}_{n∈N}
⊂{x∈X|d(x,b)<ε}∩A
だから
{x∈X|d(x,b)<ε}∩A≠φ
だから
b∈cl(A)
Aは閉集合だから
b∈cl(A)=A
だから
b∈A
Aのコーシー列はAの要素に収束するから
∴(A,d)は完備
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