 | 了解しました．一先ずは証明を述べる事にしますが，質問者様の理解に合わせてその都度に細部まで確認するという様にしましょう．
【証明について】
[Ⅰ]2直線ax+by+c＝0とpx+qy+r＝0が平行であるか，あるいは一致している場合
b＝0ならば，第1の直線の式はax+c＝0となり，この式は直線を表すので，x＝-c/aとなります．つまり，この直線はy軸と平行であるか，あるいは一致するような直線です．すると，この事と仮定によれば，q＝0かつp≠0が成立し，第2の直線の式はx＝-r/pとなります．この時，
ap＝bq
が成立します．次に，b≠0とすると，第1の直線はy軸と平行であるか，あるいは一致するという事は成り立たないため，この事と仮定によれば，q≠0となります．この時，
第1の直線の式；y＝-a/b・x-c/b,
第2の直線の式；y＝-p/q・x-r/q
となり，ここで仮定を使うと，この2つの直線の式の傾きが一致しなければなりません．この時，
-a/b＝-p/q
∴aq＝bp
いずれにせよ，aq＝bpが成り立つため，比の式の形で表すと，
a：b＝p：q
[Ⅱ]a：b＝p：qの場合
b＝0の時，第1の直線の式はax+c＝0となるが，これは直線を表すため，a≠0でなければなりません．この時，仮定から，ある0でない実数kを適当にとると，
p＝ka，q＝kb
が成立するため，この時にa≠0とb＝0を用いれば，p≠0とq＝0が得られます．この時，第2の式はx＝-r/pとなり，第1の直線と第2の直線はともにy軸と平行であるか，あるいは一致するため，第1の直線は第2の直線と平行であるか，あるいは一致することが分かります．次に，b≠0の場合を考えましょう．この時，仮定から，ある0でない実数sを適当にとれば，
p＝sa，q＝sb
が成立し，この時にb≠0を用いるとq≠0が得られます．この時，
第1の直線の式；y＝-a/b・x-c/a,
第2の直線の式；y＝-p/q・x-r/q
となり，この時，
-p/q＝-(sa)/(sb)＝-a/b
が成り立つため，第1の直線は第2の直線と平行であるか，あるいは一致するかのいずれかが成立します．
以上により，直線ax+by+c＝0と直線px+qy+r＝0が平行であるか，あるいは一致するための条件は，
a：b＝p：q
が成り立つ事である事が証明されました．
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