| 2016/10/15(Sat) 08:21:24 編集(投稿者)
長くなってしまいましたので、もっと良い解き方があるかも知れません。
[一つだけ負の場合] 対称性によりa<0,b≧0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。 このときa≧a^3,b^2≧b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3≧a^3+b+c^2 等号が成り立つのはa=-1かつb=0,1かつc=0,1のときで、 いずれの場合もa+b^2+c^3<a^2+b^3+cとなり不適。 よってこの場合は解なし。
[ちょうど二つが負の場合] 対称性によりa<0,b<0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。 このときa≧a^3,b^2>b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3>a^3+b+c^2となり不適。 よってこの場合も解なし。
[すべて負の場合] 対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われません。 以下の6つの場合があります。 (1) 0>b=c=a (2) 0>b=c>a (3) 0>b>c=a (4) 0>b>c>a (5) 0>c>b=a (6) 0>c>b>a (2),(3),(4)の場合 a+b^2+c^3=a^2+b^3+cから b^2-a^2=(b^3-c^3)+(c-a) (左辺)<0, (右辺)>0なので解なし。 (5),(6)の場合 a^2+b^3+c=a^3+b+c^2から (b^3-a^3)+(c-b)=c^2-a^2 (左辺)>0, (右辺)<0 なので解なし。 (1)の場合に成り立つことは自明です。
[すべて非負の場合] 対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われませんので a≧0,b≧a,c≧aとします。すると a+b^2+c^3≧a^2+b+c^3≧a^3+b+c^2 左の等号はa=bまたはa=0,b=1 右の等号はa=cまたはa=0,c=1 これより a=b=c a=b=0,c=1 a=0,b=c=1 対称性により (a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (tは任意の非負整数) が適解
従ってまとめると、解は (a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (tは任意の整数)
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