 | 逆写像や逆関数をf^(-1)と表現することは個人的に誤解を招くものだと考えていますので、
私の回答ではinv_fと表現させて頂きます。
また添え字付きの文字についてもn_1ではなく、n[1]と表記させて頂きます。
組み合わせ(コンビネーション)をC(n,r)と表記することとします。
階乗演算子!は四則演算よりも優先度が高いものとします。
先ず具体的な例で数えてみて、推論してみましょう。
n = 3, m = 2, #inv_f(1) = n[1] = 1, #inv_f(2) = n[2] = 2とします。
{f(1),f(2),f(3)}としては{1,2,2}{2,1,2}{2,2,1}の3通りとなりますので、
n[1]!n[2]! = 1!2! = 2とは異なり、スレ主さんの予想した解は誤りということになります。
{f(1),f(2),・・・,f(n)}のn個の中からn[1]個選んで、その値を1とする。
この選び方は、C(n,n[1])通り。
残りのn-n[1]個の中からn[2]個選んで、その値を2とする。
この選び方は、C(n-n[1],n[2])通り。
残りのn-n[1]-n[2]個の中からn[3]個選んで、その値を3とする。
この選び方は、C(n-n[1]-n[2],n[3])通り。
・・・・・・
残りのn-n[1]-n[2]-・・・-n[m-2]個の中からn[m-1]個選んで、その値をm-1とする。
この選び方は、C(n-n[1]-n[2]-・・・-n[m-2],n[m-1])通り。
残りのn-n[1]-n[2]-・・・-n[m-1]個の中からn[m]個選んで、その値をmとする。
この選び方は、C(n-n[1]-n[2]-・・・-n[m-1],n[m])通り。
但し、最後の選び方の数はn-n[1]-n[2]-・・・-n[m-1] = n[m]より、C(n[m],n[m]) = 1固定ですが。
以上から、何通りあるかの数は、
C(n,n[1])*C(n-n[1],n[2])*・・・*C(n-n[1]-n[2]-・・・-n[m-1],n[m])
= {n!/{n[1]!(n-n[1])!}}{(n-n[1])!/{n[2]!(n-n[1]-n[2])!}}*・・・*{(n-n[1]-n[2]-・・・-n[m-1])!/{n[m]!(n-n[1]-n[2]-・・・-n[m])!}}
= n!/{n[1]!n[2]!*・・・*n[m]!}
となると考えられます。
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