 | 2005/10/20(Thu) 18:39:38 編集(投稿者)
■No4773に返信(たぁちんさんの記事)
> ３次関数f(x)=x^3-ax^2が、0<x<1で極値をもたないための実数aに関する条件を求めよ。
>
> この問題は、とりあえず、f'(x)=3x^2-2axとしたらいいんですよね？
> そこから、どうすればいいのかよくわかりません。
> どなたか教えてくださいm(__)m
f(x)が0<x<1で極値を持たない⇔0<x<1でf'(x)の符号が反転しない（「f'(x)=0が解を持たない」ではありません※）
です。
この問題の場合
f'(x)=3x^2-2ax=3x(x-2a/3)
ですので
(i)a≠0のとき
このときf'(x)はx=0,2a/3で符号が反転します。
よって条件を満たすためには
2a/3≦0,1≦2a/3
ですからa≠0を考えて
a<0,3/2≦a
(ii)a=0のとき
このときf'(x)は符号が反転しないので条件を満たします。
以上より求める条件は
a≦0,3/2≦a
※)よく誤る点ですが、
f'(x)=0はf(x)が極値を持つための「必要条件」であって、十分条件ではありません。
反例）f(x)=x^3について
f'(x)=3x^2
∴f'(x)=0のときx=0となりますがf'(x)はx=0を境界にして符号を反転させないので
f(0)は極値ではありません。
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