 | n=6mのとき、左辺は
Σ[k=1〜2m][(6m-3k+2)/2]
=Σ[k=1〜m](3m-3k+2)+Σ[k=1〜m](3m-3k+1) （kの偶奇で分けてそれぞれ計算）
=Σ[k=1〜m](6m-6k+3)
=3m^2
右辺は
[{(6m)^2+6}/12]
=[(36m^2+6)/12]
=3m^2
となり成り立つ。
n=6m+1のとき、左辺は
Σ[k=1〜2m][(6m-3k+3)/2]
=Σ[k=1〜m](3m-3k+3)+Σ[k=1〜m](3m-3k+1)
=Σ[k=1〜m](6m-6k+4)
=3m^2+m
右辺は
[{(6m+1)^2+6}/12]
=[(36m^2+12m+7)/12]
=3m^2+m
となり成り立つ。
n=6m+2のとき、左辺は
Σ[k=1〜2m][(6m-3k+4)/2]
=Σ[k=1〜m](3m-3k+3)+Σ[k=1〜m](3m-3k+2)
=Σ[k=1〜m](6m-6k+5)
=3m^2+2m
右辺は
[{(6m+2)^2+6}/12]
=[(36m^2+24m+10)/12]
=3m^2+2m
となり成り立つ。
n=6m+3のとき、左辺は
Σ[k=1〜2m+1][(6m-3k+5)/2]
=Σ[k=1〜m+1](3m-3k+4)+Σ[k=1〜m](3m-3k+2)
=Σ[k=1〜m](6m-6k+6)+1
=3m^2+3m+1
右辺は
[{(6m+3)^2+6}/12]
=[(36m^2+36m+15)/12]
=3m^2+3m+1
となり成り立つ。
n=6m+4のとき、左辺は
Σ[k=1〜2m+1][(6m-3k+6)/2]
=Σ[k=1〜m+1](3m-3k+4)+Σ[k=1〜m](3m-3k+3)
=Σ[k=1〜m](6m-6k+7)+1
=3m^2+4m+1
右辺は
[{(6m+4)^2+6}/12]
=[(36m^2+48m+22)/12]
=3m^2+4m+1
となり成り立つ。
n=6m+5のとき、左辺は
Σ[k=1〜2m+1][(6m-3k+7)/2]
=Σ[k=1〜m+1](3m-3k+5)+Σ[k=1〜m](3m-3k+3)
=Σ[k=1〜m](6m-6k+8)+2
=3m^2+5m+2
右辺は
[{(6m+5)^2+6}/12]
=[(36m^2+60m+31)/12]
=3m^2+5m+2
となり成り立つ。
従って
Σ[k=1〜[n/3]][(n-3k+2)/2]=[(n^2+6)/12]
は成り立つ。
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