 | 正の数a,b,x,yを考える。a+b=1ならば、すべての自然数nにたいして不等式
(ax+by)^n≦ax^n+by^nが成り立つことを証明せよ
先日やり方を教えていただいたんですが後日学校で教わったやりかたでやってみて少しわからないところがあったんで教えてください
「(ax+by)^n≦ax^n+by^n……① が成り立つことを証明す
n=1のとき、①の
右辺=ax+by、左辺=ax+by
で①（の等号）が成り立つ。
n=kのとき①が成り立つと仮定すると、
(ax+by)^k≦ax^k+by^k
両辺にax+by=(1-b)x+(1-a)yをかけると、
左辺=(ax+by)^(k+1)
右辺=(ax^k+by^k){(1-b)x+(1-a)y}
=ax^(k+1)-abx^(k+1)+by^(k+1)-aby^(k+1)
=ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
<ax^(k+1)+by^(k+1)
で、n=k+1のときも①が成り立つ。
数学的帰納法により①がすべての自然数nで成り立つ。」
この証明の下から４行目と３行目の
=ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
<ax^(k+1)+by^(k+1)この部分の<は≦と表せないですよねだとすると
等号が成り立つように証明しなければならないと思うんですがどのようにやれ ばいいでしょう？
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