数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■47640 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

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□投稿者/ N 一般人(1回)-(2016/04/21(Thu) 19:23:40)

正の数a,b,x,yを考える。a+b=1ならば、すべての自然数nにたいして不等式
(ax+by)^n≦ax^n+by^nが成り立つことを証明せよ

証明の方法がいまいちわからないので教えてください

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■47641 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2016/04/21(Thu) 19:55:14)

補題
任意の正の数x,yと自然数kに対して
{x^(k+1)+y^(k+1)}-(x^ky+xy^k)
=(x^k-y^k)(x-y)
=(x-y)^2・Σ[i=0～k-1]{x^i・y^(k-1-i)}
≧0 なので
x^(k+1)+y^(k+1)≧x^ky+xy^k

本題
n=1のとき明らかに成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
(ax+by)^k≦ax^k+by^k … (1)
n=k+1のとき
(ax+by)^(k+1)=(ax+by)^k・(ax+by)
≦(ax^k+by^k)(ax+by)　（∵(1)より）
=a^2x^(k+1)+b^2y^(k+1)+ab(x^ky+xy^k)
≦a^2x^(k+1)+b^2y^(k+1)+ab{x^(k+1)+y^(k+1)}　（∵補題より）
=a(a+b)x^(k+1)+b(a+b)y^(k+1)
=ax^(k+1)+by^(k+1)
となり成り立つ。

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■47642 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ N 一般人(2回)-(2016/04/21(Thu) 20:20:20)

回答ありがとうございました

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