 | 2016/02/13(Sat) 07:55:56 編集(投稿者)
（略解）
x∈A,y∈Bについて d(x,y)=|x-y|
d(A,B)＝inf{d(x,y);x∈A,y∈B}とおきます。
Aが有界なときを考えます。（Bが有界なときも同様）
実数ｒ＞0があって、Aは原点のｒ近傍に含まれます。
B'＝{z∈C;|z|≦r+1}∩B とおく
B'＝φのとき 命題は成立。
B'≠φのとき B'は有界閉集合で d(A,B)＝d(A,B')
以下Bは有界閉集合と考える（B'としてもいいが表記が煩雑なので）
有界閉集合上の連続関数は最小値をとることを利用する。
一点y∈Bをとると d(x,y)はx∈Aについて連続で、Aは有界閉集合なので
d(A,y)＝d(x,y)となるx∈Aが存在
したがって,d(A,B)≦inf{d(A,y);y∈B}…(1)
また,ε＞0に対して,d(x',y')≦d(A,B)+εとなるx'∈A,y'∈Bが存在し
d(x',y')≧d(A,y')≧inf{d(A,y);y∈B}
よって inf{d(A,y);y∈B}≦d(A,B)+ε…(2)
(1),(2)より,d(A,B)＝inf{d(A,y);y∈B}
d(A,y)はyについて連続であることを示す（証明略）
Bは有界閉集合なので,d(A,B)＝d(x,y)となるx∈A,y∈Bが存在する
A∩B＝φなのでd(x,y)＞0
よってd(A,B)＞0
|