 | 「数列{a_n},{b_n}を
a_n=(-1)^n ∫[x:0～1] x^n/(1+x) dx (n=1,2,3,･･･)
b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3・・・)
と定めるとき次の問いに答えよ。ただし、対数は自然対数である。」という問題です。
（１）a_1=log2-1を示せ。(これはできました。)
（２）b_n=(-1)^{n+1}/(n+1)を示せ。(これはできました。)
（３）a_n=log2-Σ[k:1～n](-1)^{k+1}/k (n=2,3,･･･)
を示せ。（これはできました）
（４）x≧0のとき1/(1+x)≦1であることを用いて、
|a_n|≦1/(n+1)を示せ。
この（４）の解答で、
1/(1+x)≦1であるので、両辺にx^n（≧0)をかけて
x^n/(1+n)≦x^n ・・・①
となる。また、0≦x≦1において、x^n/(1+n)≧0であるから、
∫[x:0～1] x^n/(1+x) dx≧0
よって、|a_n|=∫[x:0～1] x^n/(1+x) dx≦∫[x:0～1]x^n dx=1/(n+1)
となっています。①の式から∫をつけた後、確か学校では、等号は常に成り立たない場合、等号が外れると習った気がするのですが、どうして今回は等号がついたままなのですか。ちなみにこの問題は、2015山形大の3番の問題です。よろしくお願いします。
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