 | 2015/11/01(Sun) 19:38:05 編集(投稿者)
原点中心でπ/4の回転移動により
問題の曲線上の点(x,y)が点(X,Y)に
移動したとすると、回転移動の
行列を使うことにより
x=X/√2+Y/√2
y=-X/√2+Y/√2
これを問題の曲線の方程式に代入して
√(X/√2+Y/√2)+√(-X/√2+Y/√2)=1
これより
-X/√2+Y/√2={1-√(X/√2+Y/√2)}^2
-X/√2+Y/√2=1-2√(X/√2+Y/√2)+(X/√2+Y/√2)
0=1-2√(X/√2+Y/√2)+X√2
2√(X/√2+Y/√2)=1+X√2
4(X/√2+Y/√2)=(1+X√2)^2
2X√2+2Y√2=1+2X√2+2X^2
2Y√2=1+2X^2
Y=(1/√2)X^2+1/(2√2)
よって上記の回転移動により、問題の曲線は
放物線
y=(1/√2)x^2+1/(2√2) (A)
(-1/√2≦x≦1/√2)
に移ります。
(A)より
y'=x√2
よって求める曲線の長さは
∫[-1/√2→1/√2]√{1+(x√2)^2}dx
=2∫[0→1/√2]√(1+2x^2)dx
=…
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