 | 2015/08/12(Wed) 07:28:50 編集(投稿者)
P(z)がn次式の場合、「代数学の基本定理」より
P(z)=0 は複素数の範囲で必ず根を持つので
P(z)=c(z-α[1])(z-α[2])...(z-α[n])と表せる
P(α[j]~)=P(α[j])~=0 なのでαが根ならその共役複素数も根である
したがって、α[1],...α[n]は、実数および、「共役複素数のペア」からなる。
実数のものをa[1],a[2]...a[k],
虚数のものをβ[1],β[1]~,β[2],β[2]~,...,β[m],β[m]~とすると
P(z)=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k])(z-β[1])(z-β[1]~)...(z-β[m])(z-β[m]~)
=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k]){z^2-(β[1]+β[1]~)z+β[1]β[1]~}...{z^2-(β[m]+β[m]~)z+β[m]β[m]~}
=cQ(z),Q(z)は実数係数多項式である
zとしてP(z)=0の根以外の実数をとれば
P(z~)=P(z)=P(z)~
cQ(z)={cQ(z)}~=(c~)Q(z)~=(c~)Q(z)
よってcも実数。
|