 | こんにちは。複素対数関数に就いて質問があります。
log_a(z)=ln(z)/ln(a)で(a≠0)
:
φ_-1(z):=(ln|z|+iArg(z)-2π)/ln(a),
φ_0(z):=(ln|z|+iArg(z))/ln(a),
φ_1(z):=(ln|z|+iArg(z)+2π)/ln(a),
φ_2(z):=(ln|z|+iArg(z)+4π)/ln(a),
:
と各分岐を考えると(0≦Arg(z)<2π),
:
φ_-1:C＼{0}→{(r+is)/ln(a)∈C;r∈R,s∈[-2π,0)},
φ_0:C＼{0}→{(r+is)/ln(a)∈C;r∈R,s∈[0,2π)},
φ_1:C＼{0}→{(r+is)/ln(a)∈C;r∈R,s∈[2π,4π)},
φ_2:C＼{0}→{(r+is)/ln(a)∈C;r∈R,s∈[4π,6π)}
:
と書ける。|z|=1の時,
:
lim_{Arg(z)→0}φ_-1(z)=-2π/ln(a),
lim_{Arg(z)→0}φ_0(z)=0,
lim_{Arg(z)→0}φ_1(z)=2π/ln(a),
lim_{Arg(z)→0}φ_2(z)=4π/ln(a),
:
とArg(z)→0の時,各φ_k(z)の極限値は異なる(k=…,-1,0,1,2,…)。
故に,
log_2(z)は[0,+∞)で微分不能という結論づいたのですが,これって正しいですか?
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