 | 2015/06/27(Sat) 07:59:05 編集(投稿者)
（略解）
解と係数の関係よりα+β+γ=0 …(1), αβ+βγ+γα=-3 …(2)
三次方程式ですからα,β,γの少なくとも１つは実数解です。
他の２つが実数解の場合と虚数解の場合に分けて考えます。
α,β,γがすべて実数となるのは -2≦k≦2のときで
このとき 2≦α,β,γ≦2(要証明）なので
|α+2|+|β+2|+|γ+2|=(α+2)+(β+2)+(γ+2)=(α+β+γ)+6=6
|α-2|+|β-2|+|γ-2|=-(α-2)-(β-2)-(γ-2)=-(α+β+γ)+6=6
よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|
虚数解を持つのは ｋ＜-2,k＞2のときで
αを実数解とするとα＞2,α＜-2である(要証明）
また、β,γは虚数解で互いに共役なので,β＝x+yi,γ=x-yiとおく
(1)よりx=-α/2…(3),これと(2)よりy^2=(3/4)α^2-3…(4)
|β+2|=|γ+2|=√{(x+2)^2+y^2}に(3),(4)を代入し整理
=√(α-1)^2=|α-1|
同様に|β-2|=|γ-2|=√(α+1)^2=|α+1|
よって|α+2|+|β+2|+|γ+2|=|α+2|+2|α-1|
α＞2のとき =3α
α＜-2のとき=-3α
|α-2|+|β-2|+|γ-2|=|α-2|+2|α+1|
α＞2のとき =3α
α＜-2のとき=-3α
よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|
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