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■47366 / inTopicNo.1) 　三角形
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□投稿者/ 直子 一般人(2回)-(2015/06/25(Thu) 16:49:07)
    A = (0, 0); B = (6, 0); 　C　を　BC=5,AC=7 となる　点とし
    三角形ABCにおいて,点Dを辺AB上に,点Eを辺AC上にとり,
    三角形ADEの面積が三角形ABCの1/3になるようにする。
    辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD、AEの長さを求めよ。
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■47372 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 三角形
□投稿者/ 窓を考える 一般人(1回)-(2015/06/29(Mon) 03:04:11)

    Ｃ（ｘ１，ｙ１）と置くと、ＡＣ＝７より（ｘ１）^2＋（ｙ１）^2＝４９―――①

    ＢＣ＝５より（ｘ１－６）^2＋（ｙ１）^2＝２５―――②

    ①－②より、１２（ｘ１）－３６＝４９－２５＝２４　∴１２（ｘ１）＝６０　∴ｘ１＝５

    ∴（ｙ１）^2＝４９－２５＝２４　∴ｙ１＝２√６

    ∴△ＡＢＣ＝６×２√６×（１/２）＝６√６　∴△ＡＤＥ＝２√６

    ここでＤ（ｘ２，０），Ｅ（ｘ３，ｙ３）と置くと、ｘ２×ｙ３×（１/２）＝２√６　∴ｘ２ｙ３＝４√６　∴ｙ３＝（４√６）/ｘ２―――③

    また、直線ＡＣの方程式は、ｙ＝（２√６/５）ｘよりｙ３＝（２√６/５）ｘ３―――④

    ③を④に代入すると、（４√６）/ｘ２＝（２√６/５）ｘ３　∴ｘ３＝１０/ｘ２　∴ｙ３＝４√６/ｘ２　∴Ｅ（１０/ｘ２，４√６/ｘ２）

    ∴ＤＥ＝√{（ｘ２－１０/ｘ２）^2＋（４√６/ｘ２）^2}＝√{（ｘ２）^2＋１００/（ｘ２）^2
    －２０＋９６/（ｘ２）^2}＝√{（ｘ２）^2＋１９６/（ｘ２）^2 －２０}

    よって、ｙ＝√{ｘ^2＋１９６/ｘ^2　－２０}を微分して最小値を求めれば良い。（相加相乗平均を使った方が楽だが。）

    ただし、ちょっと工夫して、ＤＥ^2＝（ｘ２）^2＋１９６/（ｘ２）^2 －２０からＤＥ^2＝ｙと置いて、

    ｙ＝ｘ^2＋１９６/ｘ^2　－２０を微分すると、ｙ’＝２ｘ－３９２/ｘ^3＝０として、

    ｘ－１９６/ｘ^3＝０　∴ｘ^4－１９６＝０　∴（ｘ^2－１４）（ｘ^2＋１４）＝０

    ∴ｘ^2＝１４　∴ｘ＝√１４　増減表は省略で最小値は、ｘ＝√１４の時。

    ∴ｙ＝１４＋１４－２０＝８　∴ＤＥ^2＝８　∴ＤＥ＝２√２　よって、ＤＥの最小値は２√２

    またＡＤ＝ｘ２＝ｘ＝√１４，また、ＡＥ＝√{(１００/ｘ^2）＋（９６/ｘ^2）}＝√（１９６/ｘ^2）＝√１４











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