数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 有理数 / Page: 0]

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■47337 / inTopicNo.1)

　有理数

□投稿者/ ジェーン一般人(1回)-(2015/06/14(Sun) 12:21:50)

平面上に長さが有理数の線分ABがあります。
ABの中点をMとします。
Mを中心として半径が有理数の円を描きます。
この円の周上の点Pで線分PAとPBの長さがいずれも有理数となるような点Pは必ず存在しますか？
ただし点Pは直線AB上にはないものを考えます。

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■47360 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 有理数

▲▼■

□投稿者/ ねむねむ一般人(2回)-(2015/06/21(Sun) 13:07:16)

線分 AB の長さを $2$2 a$ ，円の半径の長さを $2$b$ とおくと，そのような点 P が存在することと
$2$x^2,\ y^2\ne (a\pm b)^2,\ x^2+y^2=2 (a^2+b^2)$
をみたす正の有理数 $2$x$ ， $2$y$ が存在することは等価（ $2$x$ ， $2$y$ は線分PA，PBの長さになる）であり，例えば
$2$\{x,\ y\}=\left\{\frac{7 a+b}{5},\ \frac{|a-7 b|}{5}\right\}$
のように取れるので，それは成り立つ．

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