 | nは非負整数と仮定します。
> 座標平面上の正三角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか？
存在します。
例えば正三角形が
y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=1/2, y=-(√3)(x-t)
で作られるとして、
tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
y=-(√3)(x-t) が二つ以上の格子点を同時に通ることはありませんので、
内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。
> 座標平面上の正四角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか？
存在します。
例えば正四角形が
y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2)+1/2,
y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2
で作られるとして、tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 はそれぞれ
二つ以上の格子点を同時に通ることはなく、また
y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 の辺上に
同時に格子点が存在することもありませんので、
内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。
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