 | 直角を挟む2辺をa,bとし、a,b,cの中点と対頂点を結ぶ線分の長さを
d,e,fとすると、中線定理から
d=√(a^2+4b^2)/2
e=√(4a^2+b^2)/2
f=√(a^2+b^2)/2
この式からa,bを消去すると
d^2+e^2=5f^2
となりますので、この式を満たす自然数のパラメータ表示を求めて
a=2√{(e^2-f^2)/3}
b=√(4f^2-a^2)
c=√(a^2+b^2)
に当てはめれば目的の式になります。
d^2+e^2=5f^2のパラメータ表示は検索したところ
d=|m^2+4mn-n^2|
e=|2m^2-2mn-2n^2|
f=m^2+n^2
と表せるようですので
a=(2/3)√{3(m-3n)(m-n)(m+n)(3m+n)}
b=(4/3)√{3mn(m+2n)(2m-n)}
c=2(m^2+n^2)
ただし m＜n＜2mまたは3n＜m
のようになりますね。
例えば
(m,n)=(2,3)のとき
(a,b,c,d,e,f)=(2√105,16,26,19,22,13)
(m,n)=(3,4)のとき
(a,b,c,d,e,f)=(2√273,8√22,50,41,38,25)
(m,n)=(3,5)のとき
(a,b,c,d,e,f)=(16√14,4√65,68,44,62,34)
(m,n)=(4,1)のとき
(a,b,c,d,e,f)=(2√65,8√14,34,31,22,17)
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