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■4728 / inTopicNo.1) 　部分積分法
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□投稿者/ rupin 一般人(1回)-(2005/10/18(Tue) 10:13:29)
    次の不定積分を部分積分法で解いていただきたいのです。

    ∫1/xlogx

    普通に考えると、(logx)'/logxと見れるので、答えは、log|logx|+Cとなるんですが、これを部分積分の公式に当てはめて考えると、最終的に

    　∫1/xlogx = 1+∫1/xlogx となり、0 = 1 という矛盾が出てくるのですが・・・
    どのように考えたらいいのでしょうか？皆様の意見をお聞かせください。
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■4730 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 部分積分法
□投稿者/ X ベテラン(226回)-(2005/10/18(Tue) 10:25:58)
    部分積分の公式の使い方を誤っています。
    ∫(1/x)logxdx=(logx)logx-∫(logx)(logx)'dx
    =(logx)^2-∫(1/x)logxdx
    右辺の第二項を移項して両辺を2で割ると
    ∫(1/x)logxdx=(1/2)(logx)^2+C　(C:積分定数)
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■4733 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 部分積分法
□投稿者/ rupin 一般人(2回)-(2005/10/18(Tue) 12:10:51)
    ■No4730に返信(Xさんの記事)
    すいません。書き方が悪かったみたいです。
    ∫(1/x)logxdxではなくて、∫dx/xlogx です。分母が xlogxで、分子が1の不定積分です。宜しくお願いします。

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■4734 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 部分積分法
□投稿者/ X ベテラン(227回)-(2005/10/18(Tue) 12:50:56)
    ごめんなさい。私の方がちゃんと質問内容を見ていなかったようです。
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■4736 / inTopicNo.5) 　Re[1]: 部分積分法
□投稿者/ ｙｔｙｒｒｔ 一般人(3回)-(2005/10/18(Tue) 16:31:39)
    1は定数なので、log(logx)+CのＣの中にまとめてしまえば問題ないように思われますが・・。
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■4738 / inTopicNo.6) 　Re[2]: 部分積分法
□投稿者/ rupin 一般人(3回)-(2005/10/18(Tue) 17:22:50)
    　
    　返事、ありがとうございます。
    　どの部分の積分定数にまとめていいのかがわかりませんので、教えてください。
    　私の考えから行くと下記のようになります。

    　∫dx / xlogx = ∫(logx)'/ logx dx
    = (logx ×　1 / logx) - ∫ {logx × ( 1/logx )'} dx
    = 1 + ∫ dx / xlogx となり、

    　両辺から、∫dx / xlogxをひくと、
    0 = 1 となり、矛盾します。

    　どこかで、私の解等がおかしいと思うのですが、私には、わかりません。
    　積分定数が、出てくるとこは、ないですよね？

    　部分積分を用いずに、置換積分を利用すれば、解けます。でも、同じ問題を部分積　分を使うと、0 = 1 という矛盾が出てくることが、納得できないし、この矛盾の正　体を知りたいのです。

    　何かわかりましたら、宜しくお願いします。
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■4739 / inTopicNo.7) 　Re[3]: 部分積分法
□投稿者/ ｙｔｙｒｒｔ 一般人(5回)-(2005/10/18(Tue) 17:44:52)
    たとえば（ｘ＾2+1）-x^2=1ですよね。また、(x^2+1)'=2x, (x^2)'=2xですから、上の引き算は、∫2ｘｄｘ-∫2ｘｄｘ＝1とあらわすこともできるわけです。つまり、∫f(x)ｄｘ−∫f(x)dx=0として計算したことに問題があると思います。
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■4740 / inTopicNo.8) 　Re[3]: 部分積分法
□投稿者/ ＫＧ 軍団(142回)-(2005/10/18(Tue) 18:00:38)
    たとえば，
    　　∫logｘdx
    を普通は，
    　　∫logｘdx＝∫(ｘ)'logｘdx
    　　　　　　　＝ｘlogｘ−∫ｘ(logｘ)'dx
    　　　　　　　＝ｘlogｘ−∫dx
    　　　　　　　＝ｘlogｘ−ｘ＋Ｃ
    としますが，細かく言えば，
    　　∫logｘdx＝∫(ｘ)'logｘdx
    　　　　　　　＝(ｘlogｘ＋Ｃ1)−∫ｘ(logｘ)'dx
    　　　　　　　＝(ｘlogｘ＋Ｃ1)−∫dx
    　　　　　　　＝(ｘlogｘ＋Ｃ1)−(ｘ−Ｃ2)
    　　　　　　　＝ｘlogｘ−ｘ＋Ｃ　(∵ Ｃ＝Ｃ1＋Ｃ2 とした)
    です．ただ途中で何度も積分定数を出すのは煩わしいので，
    普通は，最後にＣを書きます．ですから，

    > 　∫dx / xlogx = ∫(logx)'/ logx dx
    > = (logx ×　1 / logx) - ∫ {logx × ( 1/logx )'} dx　←ココ！
    > = 1 + ∫ dx / xlogx となり、

    は，

    > 　∫dx / xlogx = ∫(logx)'/ logx dx
    > = (logx ×　1 / logx ＋Ｃ1 ) - ∫ {logx × ( 1/logx )'} dx
    > = 1 ＋Ｃ1 + ∫ dx / xlogx となり、

    とすれば，
    　　∫dx/(ｘlogx)＝１＋Ｃ1＋∫dx/(ｘlogx)
    となり，Ｃ1＝−１ のとき，この式は成立します．
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■4741 / inTopicNo.9) 　Re[4]: 部分積分法
□投稿者/ rupin 一般人(4回)-(2005/10/18(Tue) 18:14:23)
    ありがとうございます。お二人の説明で、よくわかりました。
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