 | （完全には出来ていませんが方針だけ）
∫[0,1]f(x)g(x)dx=k をみたすf(x),g(x)を考える
f(x)＞0,g(x)=k/f(x)とする
∫[0,1](f(x)+g(x))^2dx
=∫[0,1](f(x)+k/f(x))^2dx
=∫[0,1]{f(x)^2+2k+(k/f(x))^2}dx
したがって∫[0,1]{f(x)^2+(k/f(x))^2}dx＝4-2k をみたすf(x)を見つける
たとえば、f(x)^2+(k/f(x))^2＝(4-4k)x+2 なるf(x)がとれれば良い。
このようなf(x)が存在し連続でf(x)とg(x)は一次独立であることを示せば良いと思います。
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