数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 広義積分 / Page: 0]

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■47238 / inTopicNo.1)

　広義積分

□投稿者/ マリリン一般人(1回)-(2015/05/20(Wed) 21:10:22)

素朴な疑問ですが…

f[n](x) : [0,∞)→(0,∞) (n=1,2,3,...) はみな連続関数で、
∫[0→∞] f[n](x) dx (n=1,2,3,...) はすべて収束していると仮定します。
このとき、連続関数 f(x) : [0,∞)→(0,∞) で、以下の2条件を同時にみたすものは必ず存在しますか？
・∫[0→∞] f(x) dx は収束
・任意の n に対して lim[x→∞] f(x)/f[n](x) = ∞

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■47297 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 広義積分

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□投稿者/ ひよこ一般人(11回)-(2015/05/29(Fri) 14:01:48)

いまさらですが。

結論として、出来ると思います。

ちょっと面倒ですが、条件を満たすf(x)を構成します。

まず、
$2$ g_k(x)=k \max \{f_1(x) + f_2(x)+ \dots + f_k(x) \}$
と定めます。このようにすると、k以下のnに対して
$2$ g_k(x) \geq k f_n(x)$
が成り立つことに注意します。

次に、いわゆるcut-off関数 $2$\chi(x)$ を、
$2$ \chi(x)=0 \text{ if } x \leq -1, \quad 0<\chi(x)<1 \text{ if } 0<x<1, \quad \chi(x)=1 \text{ if } x \geq 0$
を満たすような連続関数とします。

さらに、 $2$x_k$ を次のように定めます。
・ $2$x_1=0$ .
・ $2$x_{k+1} >x_{k}+1$
・ $2$k>1$ では次を満たす。
$2$ \displaystyle\int_0^\infty \chi(x-x_k) g_k(x) \,dx < \displaystyle\int_{x_k-1}^\infty g_k(x) \,dx < \frac{1}{2^k}.$

ここで、各kを固定すれば、 $2$g_k$ は可積分であることから、 $2$x_k$ を大きくとれば、上記を満たすようなものがとれることが分かります。
作り方から、
$2$ \lim_{k \to \infty} x_k= \infty$
となっていることにも注意します。

ここまでで準備完了。
最後に、
$2$ f(x) =\sum_{k=1}^\infty \chi(x-x_k) g_k(x)$
として、f(x)を定めます。これは、無限和ではありますが、xを固定すると、
$2$\chi(x-x_k)\not=0$ を満たすようなkは有限個ですので、x毎に有限和になっていて、f(x)が連続関数であることもわかります。

また、 $2$f(x)>g_1(x)=f_1(x)>0$ となっています。

積分値についても、 $2$x_n$ の選び方から、
$2$ \displaystyle\int_0^\infty f(x) \,dx \leq \displaystyle\int_0^\infty f_1(x) \,dx + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n} <\infty$
となります。

最後に、nを固定し、m>nに対して、 $2$x>x_m$ となるような $2$x$ を考えれば、
$2$ f(x) \geq \sum_{k=n}^m \chi(x-x_k) g_k(x) =\sum_{k=n}^m g_k(x) \geq \sum_{k=n}^m k f_n(x) =\frac{(m-n+1)(m+n)}{2} f_n(x)$
が成り立つので、
$2$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{f_n(x)} =\infty$
も得られます。

以上でどうでしょうか。

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■47307 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 広義積分

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□投稿者/ マリリン一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 21:41:15)

有難うございます。
納得できました。

解決済み!

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