数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[14]: 極限 / Page: 0]

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■47208 / inTopicNo.1)

　極限

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□投稿者/ n 一般人(1回)-(2015/05/17(Sun) 04:02:27)

極限の問題です。

lim[x→+0]{x^x-(sinx)^x}/x^3

答えは1/6になります。

この問題の計算過程を教えてください。

どなたかよろしくお願いいたします。

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■47209 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(4回)-(2015/05/17(Sun) 11:31:37)

$2$ \Huge \frac{x^x - (\sin x)^x}{x^3}= \frac{e^{x \log x} - e^{x \log \sin x}}{x \log x - x \log \sin x} \cdot \frac{x \log x - x \log \sin x}{ x - \sin x} \cdot \frac{x - \sin x}{x^3}$

と変形するのでしょうね(違っていたらごめんなさい)。

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■47211 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(3回)-(2015/05/17(Sun) 15:36:05)

■No47209に返信(Samanthaさんの記事)
> $2$ \Huge \frac{x^x - (\sin x)^x}{x^3}= \frac{e^{x \log x} - e^{x \log \sin x}}{x \log x - x \log \sin x} \cdot \frac{x \log x - x \log \sin x}{ x - \sin x} \cdot \frac{x - \sin x}{x^3}$
>
> と変形するのでしょうね(違っていたらごめんなさい)。

ご回答下さりありがとうございます。

何故このように変形できるのか分かりませんでしたので、
もう少し詳しく教えて頂けると助かるのですが・・・
すみません。

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■47212 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(4回)-(2015/05/17(Sun) 15:54:09)

上の返信は無視して下さい。
失礼しました。

このあとどのように極限を計算していけばよいでしょうか。
ロピタルの定理を使うのでしょうか？

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■47213 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(6回)-(2015/05/17(Sun) 16:14:02)

3つの積に分解されましたので、それぞれの極限を考えてみて下さい。
ロピタルの定理が使えるなら使ってもいいと思います。
3番目 $2$\frac{x-\sin x}{x^3}$ はロピタルの定理を使うのがいいと思います。

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■47214 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(5回)-(2015/05/17(Sun) 16:45:24)

何度もすみません。
１番目の極限はどうやって計算するのでしょうか？
ロピタルの定理は使えない、マクローリン展開はf(0)が定義できない
ので使えない・・・
どうすればいいでしょうか？

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■47215 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(8回)-(2015/05/17(Sun) 17:04:32)

$2$ a= x \log x \\ b= x \log \sin x$
とおいてみます。
すると、
$2$\Large \frac{ e^{x \log x} - e^{x \log \sin x} }{{x \log x} - {x \log \sin x}} \\ = \frac{e^a - e^b}{a-b}$
です。
この形の極限は基本的なものだと思いますが、どうでしょうか？

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■47216 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(6回)-(2015/05/17(Sun) 17:42:13)

ご回答ありがとうございます。

a→bならば、e^xのx=bでの微分になるんだと思いますが、
x→+0のとき、a→bになるんでしょうか？

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■47217 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(9回)-(2015/05/17(Sun) 17:53:12)

微分係数の定義ではなく、平均値の定理を使ってみて下さい。

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■47218 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(7回)-(2015/05/17(Sun) 18:51:07)

平均値の定理を使うと、
$2$\frac{e^a-e^b}{a-b}=f'(c),x\log \sin x<c<x\log x$
となりましたが、この場合cは0でいいんでしょうか？

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■47219 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(10回)-(2015/05/17(Sun) 19:13:43)

> この場合cは0でいいんでしょうか？

すみません、どういう質問でしょうか？
$2$x \log x \rightarrow 0, \, x \log \sin x \rightarrow 0$
が分からないということですか？

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■47220 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(8回)-(2015/05/17(Sun) 19:24:05)

■No47219に返信(Samanthaさんの記事)
>>この場合cは0でいいんでしょうか？
>
> すみません、どういう質問でしょうか？
> $2$x \log x \rightarrow 0, \, x \log \sin x \rightarrow 0$
> が分からないということですか？

分かりにくい質問ですみません。
そうです。その２つが0に収束するという事がわかりません。
何度もすみません。教えて下さい。

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■47221 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(11回)-(2015/05/17(Sun) 19:31:30)

ということは、
$2$x^x \rightarrow 1 , \, (\sin x)^x \rightarrow 1$
も分からないということですか？

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■47222 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(9回)-(2015/05/17(Sun) 19:35:57)

■No47221に返信(Samanthaさんの記事)
> ということは、
> $2$x^x \rightarrow 1 , \, (\sin x)^x \rightarrow 1$
> も分からないということですか？

$2$x^x\rightarrow 1$ は分かります。
$2$(\sin x)^x\rightarrow 1$ が怪しいです。

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■47223 / inTopicNo.15)

　Re[14]: 極限

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□投稿者/ Samantha 一般人(12回)-(2015/05/17(Sun) 20:07:40)

$2$x^x \rightarrow 1$ が分かるのに、 $2$x \log x \rightarrow 0$ が分からないのは、いったいどういうことなのでしょうか？

$2$(\sin x)^x \rightarrow 1$ が怪しいのに、与えられた極限が「不定形」になると判断できたのは何故ですか？
(普通の順番ですと、 $2$(\sin x)^x \rightarrow 1$ だから、この問題が不定形の極限を求める問題なのだと判断することになるのですが…)

$2$\huge (\sin x)^x = \left( \left( \sin x \right)^{\left( \sin x \right)} \right)^{\frac{x}{\sin x}}$ と考えてみて下さい。

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■47224 / inTopicNo.16)

　Re[14]: 極限

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□投稿者/ n 一般人(10回)-(2015/05/17(Sun) 20:11:13)

lim[x→+0](sinx)^x=1と計算できました。
つまりxlogsinx=0ですね。
これで１番目が1という事が分かりました。
ありがとうございます。

２番目はどのように計算するのでしょう？
お願いします。教えて下さい。

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■47225 / inTopicNo.17)

　結局全部聞いてますね？

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□投稿者/ Samantha 一般人(13回)-(2015/05/17(Sun) 20:18:56)

2番目、やり方は色々あるでしょうが、たとえば
$2$ \large a = \frac{\sin x}{x}$
と置き換えて考えてみてはいかがでしょうか？

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■47226 / inTopicNo.18)

　Re[16]: 結局全部聞いてますね？

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□投稿者/ n 一般人(11回)-(2015/05/17(Sun) 20:27:01)

■No47225に返信(Samanthaさんの記事)
> 2番目、やり方は色々あるでしょうが、たとえば
> $2$ \large a = \frac{\sin x}{x}$
> と置き換えて考えてみてはいかがでしょうか？

長い時間お手を煩わせてもうしわけありませんでした。
教えて頂いたことを参考にして、計算してみたいと思います。

本当にありがとうございました。

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