 | ＃線型代数ではなくて加群の話ですね。
存在します。
有限生成アーベル群の基本定理の証明でも類似のことをするでしょうから、
そのあたりの文献なりページなりを探せばちゃんとした証明がみつかると思います。
マルチなのでこれで終わりにしようかと思いましたが、
ユークリッドの互除法の原理を利用して構成する例を以下にあげます。
この例から一般化し細部をつめれば１つの証明になるでしょう。
L=|a_1|+...+|a_n| に関する数学的帰納法だと証明が簡単でしょう。
例
5 13 23 を1行目に含む整数係数 3x3行列で、行列式が±1 のもの(GL3(Z)の元）を１つ求める。
step 1
23=5*4+3 3番目から1番目の4倍を引く
13=5*2+3 2番目から1番目の2倍を引く
5 3 3
step 2
5=3*1+2 1番目から3番目を引く
3=3*1 2番目から3番目を引く
2 0 3
step 3
3=2*1+1 3番目から1番目を引く
2 0 1
step 4
2=1*2 1番目から3番目の2倍を引く
0 0 1
これを含むGL3(Z)の行列の１つは次のもの。
0 0 1
0 1 0
1 0 0
これに対して基本操作（行列式が変わらない操作）を行う
step 4' 1列目に3列目の2倍を足す
2 0 1
0 1 0
1 0 0
step 3' 3列目に1列目を足す
2 0 3
0 1 0
1 0 1
step 2' 2列目に3列目を足し、1列目に3列目を足す
5 3 3
0 1 0
2 1 1
step 1' 3列目に1列目の4倍を足し、2列目に1列目の2倍を足す
5 13 23
0 1 0
2 5 9
1列目が 5, 13, 23 になり、これが求めるGL3(Z)の元（の１つ）。
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