数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 級数 / Page: 0]

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■47195 / inTopicNo.1)

　級数

□投稿者/ 解析勉強中一般人(1回)-(2015/05/12(Tue) 10:49:49)

{a_n}(n=1,2,3,...)は実数からなる数列で、次の条件をみたしています。
条件： Σ[n=1,∞](b_n)^2が収束するような任意の実数列{b_n}(n=1,2,3,...)に対してΣ[n=1,∞](a_n)*(b_n)が収束する。
このときΣ[n=1,∞](a_n)^2が収束することの証明を教えて下さい。

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■47199 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 級数

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□投稿者/ ひよこ一般人(7回)-(2015/05/13(Wed) 17:12:35)

関数解析使って良いなら、一様有界性定理を使って示せると思います。

$2$l^2$ 上の有界線形汎関数 $2$T_k:l^2 \to R$ を、
$2$ T_k b = a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k$
で定める。ここで、 $2$b=\{b_n\}$ は $2$l^2$ の元です。

さて、仮定を用いると、 $2$\sup_k |T_k \{b_n\}|<\infty$ が示せます。

あとは、一様有界性定理を使うと、 $2$T=\lim_{k \to \infty} T_k$ が有界線形汎関数となっていることがわかります。

一方、 $2$T_k$ の作り方から、
$2$ \|T\|=\sum_{n=1}^\infty a_n^2$
となっているので、 $2$T$ の有界性から結論が得られます。

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■47201 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 級数

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□投稿者/ 解析勉強中一般人(2回)-(2015/05/14(Thu) 12:57:01)

理解しました。
ありがとうございました。

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