 | 2015/05/10(Sun) 01:28:11 編集(投稿者)
n≧4とします。
m^2≡0,1(mod4)ですから
m^2がa0000…0002,a0000…0003,a0000…0006,a0000…0007となることはありません。
a0000…0005は素因数5をちょうど1個持ちますので、
m^2がa0000…0005となることはありません。
a0000…0008は素因数2をちょうど3個持ちますので、
m^2がa0000…0008となることはありません。
残る可能性はb=1,4,9です。
m^2=a0000…0004のときm≡2(mod4)ですから
m=4k+2とおくとm^2=16k(k+1)+4
16k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので
kかk+1のどちらかが5^nで割り切れ、
kかk+1のどちらかが2^(n-4)で割り切れ、
k(k+1)を2^(n-4)・5^nで割った商が1〜9でなければなりません。
よってkとk+1は一方が2^(n-4)に1桁の自然数を掛けた値、
他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値です。
しかし近い値では(2の素因数の個数)＞(5の素因数の個数)ですから
kとk+1がそのような値になることはありません。
従ってm^2=a0000…0004となることもありません。
m^2=a0000…0001のときm≡1(mod2)ですから
m=2k+1とおくとm^2=4k(k+1)+1
4k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので、
kとk+1は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。
m^2=a0000…0009のときm≡1(mod2)ですから
m=2k+3とおくとm^2=4k(k+3)+9
4k(k+3)がa0000…0000とならなければいけませんので、
kとk+3は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。
従ってb=1,4,9もあり得ませんので、n≧4でa*10^n+bが平方数となることはありません。
よってn＜4の組合せをすべて確かめることにより、
(a,b,n)=(1,6,1),(2,5,1),(3,6,1),(4,9,1),(6,4,1),(8,1,1)
が全解とわかります。
補足
「近い値では(2の素因数の個数)＞(5の素因数の個数)ですから」というのは
5^4=625以上の5の累乗数と比較して10倍以内の違いしかない2の累乗数の方が
素因数の個数が多い、という意味です。
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