 | 2015/05/03(Sun) 10:15:38 編集(投稿者)
やっと解決しました。気付くまで時間がかかりましたが、
気付いてしまえば考え方は難しくありませんでした。
答えは「任意の自然数」でした。
三辺が自然数a[1],b[1],c[1]（ただしa[1]=b[1]）である
平べったい二等辺三角形から始めて、漸化式
a[k+1]=a[k]c[k]
b[k+1]=a[k]b[k]
c[k+1]=(c[k])^2-(b[k])^2
により三角形を作っていくと、三辺がa[n],b[n],c[n]である三角形は
a[n]とc[n]で挟まれる角が最初の二等辺三角形の底角と同じ
b[n]とc[n]で挟まれる角が最初の二等辺三角形の底角のn倍
となります。
（この漸化式は、三角形の相似から導出できます。）
よって最初の二等辺三角形の底角のn+1倍が180°未満でなければいけませんので、
nが大きくなるほど平べったい二等辺三角形から始めなければなりません。
例えばn=10となる三角形を作るためには、最低でも
a[1]=b[1]=13,c[1]=25とする必要があり、このとき
(a[10],b[10],c[10])は(176396952875,137858491849,40548658151)の倍数
となります。この三角形は確かに条件を満たしています。
以下、2倍から10倍の例です。
2倍：(2,2,3)から始めて (6,4,5)
3倍：(2,2,3)から始めて (10,8,3)
4倍：(3,3,5)から始めて (105,81,31)
5倍：(4,4,7)から始めて (1220,1024,231)
6倍：(6,6,11)から始めて (72930,46656,30421)
7倍：(7,7,13)から始めて (1024303,823543,220597)
8倍：(9,9,17)から始めて (58429017,43046721,16657264)
9倍：(11,11,21)から始めて (3208420160,2357947691,907270539)
10倍：(13,13,25)から始めて (176396952875,137858491849,40548658151)
※いずれも、最終の三角形は三辺の最大公約数で割って既約にしています。
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