| ■47136 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 調和級数
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□投稿者/ みずき 付き人(71回)-(2015/04/24(Fri) 02:35:56)
 | (1)
例えば、こちら(↓)をご覧になられてはいかがでしょう。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum4.htm
(2)
n＞1に対してΣ[k=1,n]H[k]が整数であると仮定します。
Σ[k=1,n]H[k]
=Σ[k=1,n]Σ[i=1,k]1/i
=Σ[i=1,n](1/i)Σ[k=i,n]1
=Σ[i=1,n](1/i)(n-i+1)
=(n+1)Σ[i=1,n](1/i)-Σ[i=1,n]1
=(n+1)H[n]-n
=(n+1)(H[n+1]-1)
なので (n+1)H[n+1]は整数です。
pをn以下の最大の素数とすると
{(n+1)!}H[n+1]/p-{(n+1)!}{Σ[k≠p,1≦k≦n](1/k)}/p=(n+1)!/p
左辺は整数ですが、右辺は整数ではありません。
これは矛盾なので、冒頭の仮定が誤りであることが導かれました。
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