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■47131 / inTopicNo.1)

　三角関数

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□投稿者/ sincostan 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 11:30:45)

実数θが
sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ
をみたすとき、
tanθ+tan2θ+tan3θ
の値を教えて下さい。

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■47133 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ みずき付き人(70回)-(2015/04/23(Thu) 20:42:12)

sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ
(sinθ-cosθ)+(sin3θ-cos3θ)+(sin2θ-cos2θ)=0
-(√2)sin(π/4-θ)-(√2)sin(π/4-3θ)-(√2)sin(π/4-2θ)=0
sin(π/4-θ)+sin(π/4-3θ)+sin(π/4-2θ)=0
2cosθsin(π/4-2θ)+sin(π/4-2θ)=0
(2cosθ+1)sin(π/4-2θ)=0
cosθ=-1/2 または sin(π/4-2θ)=0
θ=2π/3+2nπ または θ=4π/3+2nπ または θ=π/8-nπ/2
(ただし、nは任意の整数)

・θ=2π/3+2nπのとき
　2θ=4π/3+4nπ、3θ=2π+6nπにより
　tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(2π/3)+tan(4π/3)+tan(2π)=-√3+√3+0=0

・θ=4π/3+2nπのとき
　2θ=8π/3+4nπ、3θ=4π+6nπにより
　tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(4π/3)+tan(8π/3)+tan(4π)=√3-√3+0=0

・θ=π/8-nπ/2のとき
　2θ=π/4-nπ、3θ=3π/8-3nπ/2
n=4mのとき、θ=π/8-2mπ、2θ=π/4-4mπ、3θ=3π/8-6mπで
tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(π/8)+tan(π/4)+tan(3π/8)=√2-1+1+√2+1=2√2+1
n=4m+1のとき、θ=-3π/8-2mπ、2θ=-3π/4-4mπ、3θ=-9π/8-6mπで
tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-3π/8)+tan(-3π/4)+tan(-9π/8)=-1-√2+1+1-√2=1-2√2
n=4m+2のとき、θ=-7π/8-2mπ、2θ=-7π/4-4mπ、3θ=-21π/8-6mπで
tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-7π/8)+tan(-7π/4)+tan(-21π/8)=√2-1+1+1+√2=2√2+1
n=4m+3のとき、θ=-11π/8-2mπ、2θ=-11π/4-4mπ、3θ=-33π/8-6mπで
tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-11π/8)+tan(-11π/4)+tan(-33π/8)=-1-√2+1+1-√2=1-2√2

以上により、tanθ+tan2θ+tan3θ=0 または 1±2√2

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■47134 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ val 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 20:42:39)

1 - 2 Sqrt[2], 0 , 1 + 2 Sqrt[2] です

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■47140 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角関数

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□投稿者/ sincostan 一般人(2回)-(2015/04/25(Sat) 17:35:12)

有難うございました。
とてもよく分かりました。

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