 | -x^3z-3xy^2z+y^4-y^2z^2=0
x=0のときy^2(y-z)(y+z)=0により、y=0またはy=±z
以下x≠0として両辺をx^4で割り、y/x=s,z/x=tとおくと
-t-3s^2t+s^4-s^2t^2=0⇔s^2t^2+(3s^2+1)t-s^4=0（・・・★）
s=0のときはt=0
以下s≠0と仮定して、★をtについて解くと
t={-3s^2-1±(s^2+1)√(4s^2+1)}/(2s^2)
tが有理数であるためには、4s^2+1が有理数の2乗であることが必要。
s=q/p(p,qは整数でpは正)とおくと
4s^2+1=4(q/p)^2+1=(4q^2+1)/(p^2)
だから、4q^2+1が平方数であることが必要。
4q^2+1が平方数になるのはq=0のときだけであることが知られているので
s=0を導くが、これは矛盾。
以上により、格子点は以下で全てです。ただし、kを任意の整数とします。
(x,y,z)=(0,0,k),(0,k,k),(0,k,-k),(k,0,0)
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