 | 回答ではありません。参考情報です。
1と自身も約数に含むものとします。
正の約数を丁度4個持つのは、ある素数の3乗か、異なる2個の素数の積になる自然数です。
3つの連続する自然数をn-1, n, n+1とします。
n-1 ≡ n+1 (mod 2)です。
先ずn-1, n+1が共に偶数である場合は題意を満たさないことを示します。
n-1が2を因数に持つということは、n-1 = 2^3であるか、pを2でない素数としてn-1 = 2pとなる場合です。
n+1が2を因数に持つということは、n+1 = 2^3であるか、qを2でない素数としてn+1 = 2qとなる場合です。
n-1 = 2^3 = 8とすると、n = 9は題意を満たしません。
n+1 = 2^3 = 8とすると、n = 7は題意を満たしません。
よって、n-1 = 2pかつn+1 = 2qとなります。
2q-2p = (n+1)-(n-1) = 2より、q-p = 1となり、p = 2かつq = 3となりますが、
pは2でない素数なのでこれは不可能です。
以上から、n-1, n+1が共に偶数である組は存在しません。
上記結果から、n-1とn+1は奇数で、nは偶数となります。
n = 2^3 = 8はn-1 = 7が題意を満たさないので、pを2でない素数としてn = 2pとなります。
p = 3とすると、n-1 = 2*3-1 = 5は題意満たさないので、pは3でもありません。
また組の中に3^3 = 27が含まれることがあるか調べると、
(25, 26, 27)も(27, 28, 29)も題意を満たさないので、3^3 = 27が含まれることはありません。
n-1, n, n+1のどれか1つのみが3の倍数なので、ここまでの結果からp, qを2でも3でもない素数として
(n-1, n, n+1)は(3q, 2p, n+1)または(n-1, 2p, 3q)という形に絞られました。
更に、素数の3乗が(n-1, n, n+1)に含まれることは無いと言えます。
rを素数としてn-1 = r^3とすると、n = (r+1)(r^2-r+1) = 2pより、
r+1 = 2かr^2-r+1 = 2となりますが、どちらも不可能です。
また、n+1 = r^3とすると、n = (r-1)(r^2+r+1) = 2pより、
r-1 = 2かr^2+r+1 = 2となりますが、後者は不可能ですし、前者のr = 3も排除されることは示しました。
上記の結果から、r, sを2でも3でもない異なる素数として、
(n-1, n, n+1) = (3q, 2p, rs)または(n-1, n, n+1) = (rs, 2p, 3q)という形に表せると言えます。
従って、上記が無限組存在するのならば、
p, qが2でも3でもない素数として2p-3q = ±1となるものが無限組存在することが必要です。
先ず、上記不定方程式の一般解を求めてみます。
(1)(n-1, n, n+1) = (3q, 2p, rs)の場合、つまり2p-3q = 1の場合
2(p+1) = 3(q+1)と変形でき、2(p+1)は4の倍数、3(q+1)は3の倍数なので、
tを整数としてp+1 = 6t, q+1 = 4tと表せます。よって、(p, q) = (6t-1, 4t-1)となります。
よって、rs = 2p+1 = 2(6t-1)+1 = 12t-1となります。
(2)(n-1, n, n+1) = (rs, 2p, 3q)の場合、つまり2p-3q = -1の場合
2(p-1) = 3(q-1)と変形でき、2(p-1)は4の倍数、3(q-1)は3の倍数なので、
tを整数としてp-1 = 6t, q-1 = 4tと表せます。よって、(p, q) = (6t+1, 4t+1)となります。
よって、rs = 2p-1 = 2(6t+1)-1 = 12t+1となります。
以上から、p, q, r, sを2でも3でもない(異なる)素数、tを整数(自然数)として
(n-1, n, n+1) = (3q = 3(4t-1), 2p = 2(6t-1), rs = 12t-1)
(n-1, n, n+1) = (rs = 12t+1, 2p = 2(6t+1), 3q = 3(4t+1))
と表せることが分かりましたが、これで解決に近づいたとは言い難いですね。
ちなみにこの問題の出典はどこですか?
別掲示板にも同一問題が質問されていますが、同一質問者? 同じ課題を出された別人?
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