数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: x^n+y^n+z^n / Page: 0]

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■47094 / inTopicNo.1)

　x^n+y^n+z^n

□投稿者/ a[n] 一般人(1回)-(2015/04/11(Sat) 15:16:48)

x,y,zを複素数とし、数列{a[n]}(n=1,2,3,…)を
a[n]=x^n+y^n+z^n
と定めます。
このとき以下は成り立ちますか？
相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
任意の自然数nに対してa[n]は整数である。

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■47096 / inTopicNo.2)

　Re[1]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ らすかる大御所(306回)-(2015/04/11(Sat) 16:40:52)

成り立ちません。
例えばx=i,y=z=0のとき
a[2],a[4],a[6]は整数ですが
a[1]は整数ではありません。

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■47097 / inTopicNo.3)

　Re[2]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ a[n] 一般人(2回)-(2015/04/11(Sat) 19:42:58)

なるほど…

gcd(p,q,r)=1なら成り立ちますか？

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■47098 / inTopicNo.4)

　Re[3]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ らすかる大御所(307回)-(2015/04/11(Sat) 20:16:04)

成り立ちません。
x=1+i, y=-1-i, z=0のとき
a[1],a[3],a[4],a[5],a[7],a[8],…は整数ですが
a[2],a[6],a[10],…は整数ではありません。

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■47099 / inTopicNo.5)

　Re[4]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ a[n] 一般人(3回)-(2015/04/11(Sat) 21:03:02)

なるほど…

相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
任意の自然数nに対してa[n]は整数である。

という命題が真となるような{p,q,r}≠{1,2,3}の例がありましたらおしえていただけないでしょうか。

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■47100 / inTopicNo.6)

　Re[5]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ らすかる大御所(308回)-(2015/04/11(Sat) 21:36:04)

それは自分で証明できなければいけないわけですから難しいですね。
「{p,q,r}≠{1,2,3}」としているということは、もしかして元の問題が
「a[1],a[2],a[3]が整数ならば任意のnに対してa[n]が整数」を証明する問題で
それを一般化してみたということでしょうか。

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■47101 / inTopicNo.7)

　Re[6]: x^n+y^n+z^n

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□投稿者/ a[n] 一般人(4回)-(2015/04/11(Sat) 21:40:40)

そうです。

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