 | 2次の不定方程式の整数解だからフェルマーの方程式(ペルの方程式)に帰着します。
特殊な場合は因数分解できて1次の不定方程式に帰着できます。
-15-2a+(a^2)-22b-2ab-(b^2) = 0
⇒ {(a^2)-2ab+(b^2)}-15-2a-22b-2(b^2) = 0
⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)-24b-2(b^2) = 15
⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)+1-24b-2(b^2) = 16
⇒ {(a-b-1)^2}-2{36+12b+(b^2)} = 16-2*36
⇒ {(a-b-1)^2}-2{(b+6)^2} = -56
2{(b+6)^2}と56は偶数ですから、(a-b-1)^2も偶数、つまりa-b-1は偶数であることが必要です。
よって、(a-b-1)^2と56は4の倍数ですから、(b+6)^2も偶数、つまりb+6は偶数であることが必要です。
u, vを整数として、a-b-1 = 2u, b+6 = 2vとおきます。
{(2u)^2}-2{(2v)^2} = -56
⇒ (u^2)-2(v^2) = -14
上記からuも偶数ですので、wを整数としてu = 2wとおくと、
{(2w)^2}-2(v^2) = -14
⇒ 2(w^2)-(v^2) = -7
最近見た式だなと思ったら、本掲示板のスレ47073「双曲線」の私の回答に出て来た途中式とほぼ同じですね。
なので、解法はレス47074を参考にしてください。
注意点としては、レス47074は「2(w^2)-(v^2) = 7」の一般解を求めたのですが、
ここでは右辺の符号が違いますので、w, vの符号を度外視して、nを奇数である整数とすれば、
w(√2)-v = {2(√2)-1}{(1-√2)^n}
w(√2)+v = {2(√2)+1}{(1+√2)^n}
と表せるということですね。
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