 | a=π/7とします。
3a+4a=πよりsin(3a)=sin(4a)なので
(sina)(3-4(sina)^2)=2(sin(2a))(cos(2a))=4(sina)(cosa)(cos(2a))
∴3-4(1-(cosa)^2)=4(cosa){2((cos)^2)-1}
∴8{(cosa)^3}-4{(cosa)^2}-4(cosa)+1=0
よって、x=cosaは8(X^3)-4(X^2)-4X+1=0（・・・(1)）の解です。
(1)の有理数解は、±1/(8の約数)に限られますが、
いずれも(1)の解ではないので(1)は有理数解を持ちません。
ここで、p(x^2)+qx+r=0となるような有理数の組(p,q,r)
（ただし、p≠0かつr≠0）
が存在すると仮定します。
すると、(1)から
A(x-B){p(x^2)+qx+r}=8(x^3)-4(x^2)-4x+1
となるようなA,Bが存在する必要があります。
よって、係数を比較して、Ap=8,-ABr=1
p≠0かつr≠0により、A,Bとも有理数であることが導かれます。
ところが、これは(1)が有理数解を持つ事を意味するので、矛盾です。
よって、p=0またはr=0が導かれました。
・p=0のとき、qx+r=0。q≠0とするとx=-r/qが有理数となるので矛盾。
よって、q=0でr=0。
・r=0のときは、x(px+q)=0。x≠0なので、px+q=0。
p≠0とするとx=-q/pが有理数となるので矛盾。よって、p=0でq=0。
従って、結局、p=q=r=0を導きます。
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