数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 距離が整数 / Page: 0]

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■47081 / inTopicNo.1)

　距離が整数

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□投稿者/ フレッチャー一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 22:09:08)

座標平面上に
O(0,0)
A(√2,0)
B(0,√2)
があるとき、線分OP,AP,BPの長さが全て整数となるような点Pを全て求めたいのですが、よろしくお願いします。

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■47087 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 距離が整数

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□投稿者/ らすかる大御所(304回)-(2015/04/10(Fri) 08:29:27)

条件から|OP-AP|≦1、|OP-BP|≦1です。

OP-AP=OP-BP=1の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
(1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
(1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
これらを(1)に代入してkを求めるとk=-1/4となるので解なし。

OP-AP=OP-BP=-1の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=(k+1)^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
(1)-(2)から x=(1-2k)/(2√2)
(1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
これらを(1)に代入してkを求めるとk=1/4となるので解なし。

OP-AP=1、OP-BP=-1の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
(1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
(1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
これらを(1)に代入すると成り立たないので解なし。

OP-AP=-1、OP-BP=1の場合も同様。

OP-AP=OP-BP=0の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=k^2 … (3)
(1)-(2)から x=1/√2
(1)-(3)から y=1/√2
これらを(1)に代入してkを求めるとk=1となりこれは適解。
従って(1/√2,1/√2)は条件を満たす点。

OP-AP=0、OP-BP=1の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
(1)-(2)から x=1/√2
(1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
これらを(1)に代入してkを求めるとk=(1±√6)/2となるので解なし。

OP-AP=1、OP-BP=0の場合も同様。

OP-AP=0、OP-BP=-1の場合
OP=kとおくと
x^2+y^2=k^2 … (1)
(x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
(1)-(2)から x=1/√2
(1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
これらを(1)に代入してkを求めるとk=(-1±√6)/2となるので解なし。

OP-AP=-1、OP-AP=0の場合も同様。

以上により、条件を満たす点は(1/√2,1/√2)のみ。
（このときOP=AP=BP=1）

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■47090 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 距離が整数

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□投稿者/ フレッチャー一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 13:14:12)

ありがとうございました。

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