 | もしa=b=p=q=0以外に与式を満たす有理数があれば、
適当に平方数倍することで与式を満たすa=b=p=q=0以外の整数もある。
よってa=b=p=q=0以外の整数解がないことを示せばよいので、
a,b,p,qは整数と仮定する。
a^2-2b^2=5(3q^2-p^2)
a≡0(mod5)のときa^2≡0(mod5)
そうでないときa^2≡±1(mod5)
b≡0(mod5)のとき2b^2≡0(mod5)
そうでないとき2b^2≡±2(mod5)
従ってa^2-2b^2が5の倍数になるためにはa≡b≡0(mod5)でなければならない。
このときa^2-2b^2は25の倍数になるから、p^2-3q^2も5の倍数でなければならないが、
上と同様の議論でp^2-3q^2が5の倍数になるためには
p≡q≡0(mod5)でなければならないことがわかる。
a=b=p=q=0でなくa,b,p,qが5の倍数のとき、
a=b=0でないからa^2-2b^2の素因数5の個数は偶数個、
p=q=0でないから5(3q^2-p^2)の素因数5の個数は奇数個となり、
等式は成り立たない。
従ってa=b=p=q=0のときのみ式が成り立つ。
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