 | {(x-2)^2}-2(y^2) = 56と変形できます。
56も2(y^2)も偶数ですから、(x-2)^2も偶数、つまりx-2は偶数です。
すると、56と(x-2)^2が4の倍数ですから、2(y^2)も4の倍数、つまりy^2は偶数で、yも偶数となります。
u, vを有理数の整数として、x-2 = 2u, y = 2vとおくと、(u^2)-2(v^2) = 14となります。
2(v^2)と14は偶数ですから、u^2は偶数で、uも偶数となります。
wを有理数の整数として、u = 2wとおくと、
2(w^2)-(v^2) = 7 = 2(2^2)-1
⇒ {w(√2)-v}{w(√2)+v} = {2(√2)-1}{2(√2)+1}・・・・・(1)
ここで、wとvは互いに素です。
何故なら、最大公約数(w, v) = gとすると、g^2は2(w^2)-(v^2) = 7の約数なので、
g^2 = 1となるからです。
2次体Q(√2)は素因数分解の一意性が成立します。
Q(√2)の整数w(√2)-vとw(√2)+vのノルムを考えると、
N(w(√2)-v) = N(w(√2)+v) = 7より、w(√2)-vとw(√2)+vはQ(√2)の共役な素数です。
# 逆に言えば、Q(√2)において有理数の整数7は完全分解であり、
# Q(√2)の共役な2つの素数の積に等しくなるというこどてす。
(1)より、eをQ(√2)の単数として、以下の2通りの可能性が考えられます。
(A) w(√2)+v = e{2(√2)+1} かつ w(√2)-v = (1/e){2(√2)-1} = 7/(e{2(√2)+1})
(B) w(√2)+v = e{2(√2)-1} かつ w(√2)-v = (1/e){2(√2)+1} = 7/(e{2(√2)-1})
# 但し(B)は、単数eを単数(1/e)に置き換えれば(A)のvの符号が反転しただけの式となります。
Q(√2)の基本単数は1+√2であり、そのノルムはN(1+√2) = -1であることと、
N(w(√2)+v) = N(w(√2)-v) = N(2(√2)+1) = N(2(√2)-1) = 7であることから、
nを有理数の整数(負でも良い)として、e = (1+√2)^(2n) = (3+2√2)^nでなくてはなりません。
N(3+2√2) = +1だからです。また、3-2√3 = 1/{3+2√2}です。
以上から、w, vの符号を度外視すれば、
w(√2)-v = {2(√2)-1}{(3-2√2)^n}
w(√2)+v = {2(√2)+1}{(3+2√2)^n}
と表せますので、
w = ({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}+{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/(2√2)
v = ({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}-{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/2
となります。
x = 2u+2 = 4(±w)+2
= 2±4({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}+{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/(2√2)
= 2±({4+√2}{(3+2√2)^n}+{4-√2}{(3-2√2)^n})
y = 2(±v)
= ±({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}-{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})
となると思います。
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