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■47034 / inTopicNo.1) 　Cauchyの積分定理で質問
  ▼■
□投稿者/ emily 一般人(1回)-(2015/04/02(Thu) 13:46:31)
    ジョーダン曲線Cの内部の点a,bに於いて,
    a≠bなら,Cauchyの積分定理から
    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=(f(a)-f(b))/(a-b)
    となりますが,
    a=bの場合は
    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dzの値はどうなるのでしょうか?
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■47036 / inTopicNo.2) 　Re[1]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ Samantha 一般人(2回)-(2015/04/03(Fri) 07:03:48)


    となります．(グルサの定理)
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■47037 / inTopicNo.3) 　Re[2]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(2回)-(2015/04/03(Fri) 09:24:58)
    どうも有難うございます。とても勉強になりました。
解決済み!
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■47038 / inTopicNo.4) 　Re[3]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(3回)-(2015/04/03(Fri) 10:42:29)
    すみません。あと一つ質問させてください。

    a,bが曲線C上もしくはCの外部にあるとき,a≠bなら
    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=0となりますが,
    a=bの場合はどうなるでしょうか?
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■47039 / inTopicNo.5) 　Re[4]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ Samantha 一般人(3回)-(2015/04/03(Fri) 12:01:18)
    外部にあるときは0になると思いますが、
    C上にあるときは…普通は考えないと思います。

    a,bが曲線C上にあるとき
    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=0
    はどうやって示したのですか？
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■47045 / inTopicNo.6) 　Re[5]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(4回)-(2015/04/04(Sat) 04:16:41)
    > a,bが曲線C上にあるとき
    > 1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=0
    > はどうやって示したのですか？

    a,bがC上にある時(a≠b),Cauchyの積分公式から

    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a))(z-b))dz=1/(2πi)1/(a-b)(∫_Cf(z)/(z-a)dz-∫_Cf(z)/(z-b)dz)
    =1/(2πi)1/(a-b)(0-0)=0.
    となりました。
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■47046 / inTopicNo.7) 　Re[6]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ Samantha 一般人(4回)-(2015/04/04(Sat) 05:59:45)
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■47060 / inTopicNo.8) 　Re[7]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(5回)-(2015/04/05(Sun) 06:28:02)
    おっとそうでした。

    積分路上にaがある時は∫_Cf(z)/(z-a)dz計算できない(というか定義されない)のですね。

    失礼致しました。
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■47061 / inTopicNo.9) 　Re[8]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(6回)-(2015/04/05(Sun) 06:50:03)
    従って,

    a,bが曲線Cより外側にあって,相異なるとき
    1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=0.

    となるのですね。
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■47062 / inTopicNo.10) 　Re[9]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ Samantha 一般人(5回)-(2015/04/05(Sun) 11:20:45)
    > 積分路上にaがある時は∫_Cf(z)/(z-a)dz計算できない(というか定義されない)のですね。

    一般的に考えられないというだけで, 自然に定義できる場合もありますね.
    (f(z)=z-aなど, どうでしょう?)


    > a,bが曲線Cより外側にあって,相異なるとき
    > 1/(2πi)∫_C f(z)/((z-a)(z-b)) dz=0

    これはその通りだと思います．
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■47068 / inTopicNo.11) 　Re[10]: Cauchyの積分定理で質問
□投稿者/ emily 一般人(7回)-(2015/04/06(Mon) 04:52:58)
    有難うございます。checkしてみたいと思います。
解決済み!
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