 | Xとxは同じもの、Yとyは同じものと解釈し、
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものと解釈してて回答します。
この質問における「消去」の意味が分からないのですが、
未知数x, yの値を求めるという意味と解釈します。
未知数2個に対して、条件式3個なので未知数の値は決定不可能かもしれません。
a = (-1+√5)/2とおくと、(1+√5)/2 = 1/aです。
x^2 = {(x+(1/a)√a)^2}+{(y+√a)^2}・・・・・(1)
y^2 = {(x-(1/a)√a)^2}+{(y-√a)^2}・・・・・(2)
y-x = 2√a・・・・・(3)
(2)-(1)より、
(y^2)-(x^2) = ({(x+1/√a)^2}+{(y+√a)^2})-({(x-1/√a)^2}+{(y-√a)^2})
⇒ (y-x)(y+x) = ({(x+1/√a)^2}-{(x-1/√a)^2})+({(y+√a)^2}-{(y-√a)^2})
上記に(3)を代入すると、
(2√a)(y+x) = (2/√a)(2x)+(2√a)(2y)
⇒ a(y+x) = 2x+2ay
⇒ (a-2)x = ay
⇒ x = {a/(a-2)}y・・・・・(4)
(3)より、
y = x+2√a・・・・・(5)
(5)を(4)に代入すると、
x = {a/(a-2)}{x+2√a}
⇒ {1-a/(a-2)}x = {a/(a-2)}2√a
⇒ {(a-2)-a}x = 2a√a
⇒ x = -a√a・・・・・(6)
(6)を(5)に代入すれば、
y = (2-a)√a・・・・・(7)
(6)(7)を(1)に代入すると、
(-a√a)^2 = {(-a√a+(1/a)√a)^2}+{(((2-a)√a)+√a)^2}
⇒ a^3 = a{(1/a-a)^2}+a{(3-a)^2}
⇒ a^2 = {(1/a-a)^2}+{(3-a)^2}
ここで、1/a-a = 1ですので、
⇒ (a^2)-{(3-a)^2} = 1^2
⇒ 3(2a-3) = 1
⇒ 6a = 10
となり、a = (-1+√5)/2と矛盾する結果となります。
よって、私の計算間違いが無いとすれば質問の3式が同時に成立するのは不可能ですので、
問題文(数式)に何らかの書き間違いがあるものと思います。
|