 | 2015/03/30(Mon) 15:42:13 編集(投稿者)
(x^2)+2x-8(y^2)-40y = x(x+2)-8y(y+5) = 0
より、(x, y) = (0, 0)(-2, -5)は解です。
(x^2)+2x-8(y^2)-40y = 0
⇒ {(x^2)+2x+1}-2{4(y^2)+20y+25} = 1-2*25
⇒ {(x+1)^2}-2{(2y+5)^2} = -49
a = x+1, b = 2y+5とおくと、(a^2)-2(b^2) = -7^2となります。
以下、2次体Q(√2)で考えます。
Q(√2)では素因数分解の一意性が成立し、e = 1+√2は基本単数です。
またeの共役数は1/e = 1-√2です。
(a+b√2)(a-b√2) = -7^2となり、
ノルムN(a+b√2) = N(a-b√2) = -7^2が有理数の整数の素数ではないので、
a+b√2, a-b√2はQ(√2)の合成数です。
7 = (3-√2)(3+√2)と因数分解されます。
N(3-√2) = N(3+√2) = 7は有理数の整数の素数なので、3-√2, 3+√2はQ(√2)の素数です。
bの符号を反転すれば、a+b√2とa-b√2は入れ替わるので、nを有理数の整数(負でも良い)として、
a+b√2 = {(3+√2)^2}(e^n) = (11+6√2)(e^n)
a-b√2 = -{(3-√2)^2}(e^n) = -(11-6√2)(e^(-n))
とおいても一般性を失いません。
a, bはnの値で定まるので、a[n], b[n]と書くことにすると、
a[n] = (1/2){(11+6√2)(e^n)-(11-6√2)(e^(-n))}
b[n] = (1/(2√2)){(11+6√2)(e^n)+(11-6√2)(e^(-n))}
と表されます。
よって、(x, y) = (a[n]-1, (b[n]-5)/2)が一般解となると思います。
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